アクシブアカデミー科目別勉強法

数学の勉強法

数学とは−大学受験の数学勉強法①

数学の特徴

 よく数学はひらめきの科目と言われます。数学が得意な人は、初めからひらめいて一筆で解答しているんだ!と思っている人はいるでしょうが、実はそうではありません。解法を見つけるまでに、この解法はどうか、これでだめならあの解法でどうか、と様々な試行錯誤を繰り返していることも多いです。つまり、ひらめきのように見えても、実際には過去に解いたことのある解法を組み合わせて使っていることがほとんどです。また、ひらめきと同様に数学には思考力が必要だとよく言われます。思考力とはすでに知っている知識を使って推論していく能力のことです。上記のような試行錯誤の回数、すなわち思考力=試行力と言うこともできます。早慶や旧帝大などの最難関大学の問題では、今までに見たことのないパターンの問題が出題され、思考力(試行力)が試されます。ただ、思考(試行)するためには典型問題の解法を理解しておく必要がありますし、入試問題の多くは典型問題です。ですから、典型的な解法が全て載っている網羅系参考書(チャートや1対1など)を完璧に身につけることが大切です。数学が暗記であると聞いたことがあるかもしれませんが、そのように言われるのはこれが理由です。例えば数列の2項間漸化式の問題ですが、解き方を覚えていないと解くことは難しいと思われます。      

では、この「完璧に身につける」とはどういうことでしょうか。例題の解法を丸暗記することでしょうか。まるっきり同じ問題が出たらそれで対応できるのかもしれませんが、数学で全く同じ問題が出ることは少ないです。なぜそのように解いてるのかを意識してはじめて、ほかの問題にも対応できる基礎力が身に付きます。

問:a(n+1)=a(n)+n,a(1)=1で表される数列{a(n)}の一般項a(n)を求めよ

例えば、上の問題は典型的な漸化式の問題ですが、なぜn=1で場合分けが必要なのかを理解していないと次、他の問題で同じ場合分けをしなくてはならないときに活かすことができません。解答をそのまま丸暗記しても無意味です。

 

なぜこのような式変形をしているのか、なぜここで場合分けしているのか、、etcということを自分の頭で考えてはじめてその例題を理解したと言えるでしょう。数学では、ただ暗記するのではなく自分の頭で考える力を伸ばすことが大切です。例題を理解したら次は反復です。何事もそうですが一度理解したら実際にできるようになるかというとそうではありません。問題を見たら、何をすればいいか最初から最後まで見通せるようになるまで繰り返しましょう。

 

 さて、上のようなことができるようになったらそれで数学の勉強がおしまいかと言われたらそうでもありません。典型問題ははじめから解法が決まっているため点数がとれるようになりますが、応用問題は自分で解法を選択し組み合わせて使っていかなければなりません。応用問題に対応する力は自分の頭で問題をしっかり考えることで身につくもので、分からなかったらとりあえず解答を見て覚える、などという勉強では決して身に付きません。その解法に至るまでに様々な試行錯誤があるはずで、それを省いて解答だけ見てもなぜその解法なのか分からないからです。解説を見たら分かるけど自分では思いつかないという人はこの、自分で試行錯誤して、なぜその解法を選択しているのかという意識が足りないと思われます。2019年東大数学第二問をもとに具体的に見ていきましょう。

一見すると図形の問題です。どうやって解こうと考えるでしょうか。図形問題といえば、図形の性質を使って(メネラウスの定理を使うなど)解きましょうか。実際にやってみれば分かりますが今回の場合図形の性質のみを使って解くのは無理そうです。図形問題の解法は主に3つです。幾何的に解く、ベクトルの利用、座標平面に落とし込む、の3つが考えられます。それぞれのやり方はマスターしていても、それがどのような時に有効になってくるのかは自分で実際に問題を解いてみてはじめて分かることです。今回の場合は、座標平面に落とし込むのが簡単です。(文系でも類題が出されていますが、座標設定するよう誘導がついています)

問題が解けなかった場合は、原因を突き止めることが大切です。先の例で言えば、そもそも図形問題で座標設定する意識がなかった、座標設定はできたがその先の不等式の変形を間違えた、など原因は様々です。「その問題が解けなかったのは自分に何が足りていなかったからか」ということを意識しながら勉強をするほうが、ただ解答を見るより何倍も効率が良いです。また解けていてもより良い解法があるときもあります。その時も、自分が思い浮かばなかった解法も、身につけるようにしましょう。

数学の要素と参考書の種類

 参考書はたくさんの種類がありますよね。どれを買えばよいか迷うことも多いと思います。今日、ネットなどに様々な情報が流れていますが、参考書はネットの情報をあてにするのではなく、実際に書店に足を運んで選ぶことが大切です。ある参考書が難しすぎると書かれていたとしても、その参考書を難しいと思うかどうかは、その人のレベルによって異なります。なので、ネットの情報をあてにせず1単元の構成を確認し、自分の苦手な問題など程度読んでみて自分が分かりやすいと思う参考書を選びましょう。数学に使える残り時間が少ないのであれば、問題数が多いと消化不良になってしまいます。問題数の多い参考書を選ぶ場合にも、全てを解くのではなく、自分に必要なレベルの問題を解くように工夫しましょう。数学は特に1問に使う時間が長いため、この発想が重要になります。

教科書・理解本

 

傍用問題集

学校で配られる問題集です。公式の成り立ちや、公式の使い方、典型問題の基本問題を主に取り上げます。学校の予習復習や定期テスト対策の際に使いましょう。

メリット:基礎が身につく。

デメリット:基本問題数は充実しているが、標準的な入試問題に出るレベルまでは対応していない。志望校のレベルに合わせて市販の網羅系参考書を買いましょう。

網羅系参考書

典型的な解法が一通り載っている参考書です。教科書でその単元を理解したらこれに進みましょう。学校で指定されていれば、まずはその指定教材を使いこなしましょう。

メリット:基本的な解法が網羅されていて基礎が身につく

デメリット:参考書によっては多すぎると感じるかもしれません。始める時期によってはやりきれないこともあるので、こなしきれる分量のものを買いましょう。

使用時期:高2夏あたりから初めて高3夏休みまでに終えられるのが理想。そのあとは適宜振り返る。辞書のように使うと良い。

選ぶ基準:自分のレベルにあったやさしいもの。数学が得意なら青チャート、苦手ならや黄チャートがおすすめ。例題やその解説がスラスラ理解できるものが良い。

 

応用問題集

 網羅系参考書が一通り終わったら、はじめましょう。実際の入試問題のように典型問題ではない入試問題への挑戦や、最難関レベルの教材では最難関大で出題されるような単元を超えた複合問題が出されます。

選ぶ基準:書店で目を通して1/3〜1/2程度の問題の方針が浮かぶもの

メリット:複合的な問題に対応する力がつく。一から自分で考える練習になる。

デメリット:全ての解法が必ずしも網羅されているわけではありません。いきなり応用問題集から受験勉強をはじめないようにしましょう。

使用時期:高3秋から冬

 

 

分野別強化問題集

分野を絞って解説してある参考書です。教科書や網羅系参考書を読んでもよく理解できないときに買いましょう。

メリット:網羅系参考書よりも丁寧な解説がされています。

デメリット:全ての単元に対して買っているとこなしきれません。他の単元と違って特に理解できない単元に対してのみ買いましょう。

使用時期:高2夏から高3夏まで適宜

選ぶ基準:
① レベルが合っているか。問題をパラパラ見てみて、方針がある程度浮かぶものを選びましょう。

② 問題数が適切か。あくまで苦手な分野の補助教材なので多すぎるとこなすのに時間がかかってしまいます。少なすぎても自分の苦手を克服できないかもしれません。

解説が自分にとって分かりやすいか。

   

数学でよくある質問

Q. 計算ミスが多いのですがどうすればいいでしょうか。

数学に計算はつきものです。初めの方で計算ミスをしてしまった場合、雪崩的に次の問題も間違えてしまうこともあります。とてももったいないですよね。しかし、計算ミスはするものです。0にすることはできません。しかし確実に減らすことはできます。そのための工夫をいくつか勉強法で述べます。

Q. 定期試験はできるのに模試になると点数がとれません。

定期試験は出る範囲がかなり細かく決まっています。それに対して模試は、大雑把な範囲(数1・Aなど)は決まっているかもしれませんが、試験ほど細かくは決まっていません。

模試で点数が取れない場合は、定期試験で扱った範囲を忘れている可能性があります。あるいは、既に扱った範囲の中に苦手範囲があるのかもしれません。網羅別参考書で今まで習った範囲を復習してみてください。

また、点数はとれていても定期試験の勉強の仕方がまずいのかもしれません。テストに出そうなところを暗記しているだけで、理解が追いついていないことも考えられます。定期テストは、問題集と似たような問題が出るため答えを暗記していけば点数が取れてしまいます。今一度、定期テストの勉強の仕方を見直してみましょう。また、一夜漬けでたまたま良い点数がとれてしまったことも考えられます。

模試は定期試験と違って、単元を超えた複合的な問題も出ます。単元ごとに理解はしていても、混ざると何をしたらいいか分からない、ということもあると思います。教科書の傍用問題集は分野ごとに分かれていることがほとんどです。ですから、典型問題の解き方を学ぶことに特化しています。例えば、正弦定理と余弦定理の単元だったら、ひたすらそれに関連した問題が載っており、正弦定理や余弦定理を使って解くことはあらかじめ決まっています。それに対して、模試の問題は、数ある解法の中からどの解法を使って解くのかを自分で考えなければなりません。では、模試に出てくるような初見の問題に対してどのように対処していけばよいでしょうか。

Q. 私立で歴史と数学が選べる場合にどちらを入試科目にしたらよいでしょうか。

国立志望で2次で数学を使う場合には、苦手ではない限り、数学がおすすめです。私大の社会は、国立と違って細かい知識が問われるため、私大用の対策をしなければなりませんが数学はそこまで難解な問題も出ませんし、得点調整で社会より有利になる可能性が高いです。

国立志望ではない場合は基本的に歴史がおすすめです。私立文系志望だと、学校で数学の授業がないことも多いので、数学で受けるとしたら、自分で勉強しなくてはなりません。また、数学は科目の性質上、点数がぶれやすいので、本番で大コケする可能性もあります。それに対して、歴史は得点が安定しやすいので、歴史がおすすめです、数学を選ぶメリットとしては、満点も狙える、ということです。もし、歴史が苦手で、過去問でも全然点数が取れないが、数学なら高得点が取れている、ということなら数学選択にするのもありでしょう。

Q. 類題をたくさん解くべきか、少ない問題を完璧に解くべきでしょうか。

分野によって異なります。科目別の勉強法で述べているように、確率、場合の数、ベクトルの分野は、自分で解法を判断する練習が必要です。この練習は易しい問題で構いません。そのために、類題をたくさん解いて、違いを理解しながら勉強する必要があります。

それに比べて、微積、数列の漸化式、図形と方程式の軌跡に関しては、解き方が決まっていることが多いです。そのため、自分で解法を判断する練習よりも、少ない問題を完璧にして解法を自分のものにすることが大切です。

Q. 単元別問題集と過去問どちらに重点をおくべきでしょうか。

入試問題は、単元ごとに分かれていません。難しい大学ほど、複数の単元にまたがった問題が出題されます。単元別問題集だけを解いていても、このような複合的な問題は解けるようにはなりません。(単元別問題集で基礎を固めるのはとても大事なことですが)応用力をつけるためにも、過去問あるいは、単元毎に分かれていない問題集もきちんと解くようにしましょう。目安は、夏が終わるまでに単元別を終わらせ、秋に応用問題集、冬から過去問にとりかかる、です。

 

Q. 問題を解くのに時間がかかって、試験時間中に終わりません。

まずは、原因分析をしましょう。問題を解くのに時間がかかる主な原因としては、問題に慣れていない、計算スピードが遅い、の2通り考えられます。

まず、問題に慣れていない、についてですが、新たに覚えた解法をスラスラと使えるようにするには時間がかかります。時間がかかる、ということはまだその問題に慣れていないのです。今では、整数の足し算はスラスラできると思いますが、小学校の頃はおはじきを使いながらやっていた人も多いはずです。それと同様に、新しい解法が使いこなせるようになるためには、ある程度練習が必要です。時間がかかる、という場合には、類題をたくさん解いて、問題に慣れましょう。

計算スピードが遅い、についてですが、これも先ほどと同様に計算に慣れていないのです。なので、計算練習をしましょう。基本的な計算については、ほとんど反射的に答えが浮かぶ、くらいになるのが理想です。例えば、数3の積分計算ですが、sinxの不定積分は-cosx,cosxの不定積分はsinxであることを,いちいち思い出していては時間がかかります。反射的に頭に思いつくようになるくらいまで練習しましょう。

Q. 問題が分からないとき、すぐ人に聞いて良いでしょうか。

まずは、自分の力で考えることが大切です。すぐ解答を見たり人に聞いたりして理解した問題と、自分で試行錯誤して解いた問題では身に付き方が違います。難しい問題ほど、初手から何をしたらいいか迷うことも多いです。自分で解いている人でも、最初から解説のような解法が浮かんでいるわけではありません。試行錯誤して、この解法じゃダメだ、あれでもダメだ・・ということを繰り返して、最適な解法で解いているはずです。このようなことを繰り返して、応用的な問題に対してどの解法を使ったらいいかの判断力が養われていきます。すぐ人に聞くのではなく、自分で最低でも5分は考えてみましょう。その際、他の参考書や教科書を参照してもokです。

数学で身につくこと

 「数学って、何のために勉強するの?」数学が、苦手で嫌いな生徒さんからよく聞くセリフだと思います。確かに、四則演算さえできれば日常生活は困りませんよね。積分や微分を日常生活で使う機会は、ないと言っていいと思います。では、なぜ数学を勉強するのでしょうか。答えは単純です。数学は、人が生きていく上で役に立つからです。例えば、みなさんが日常的に使っている電気ですが、これは19世紀にマクスウェルという科学者によって確立された電磁気学がベースになっています。この電磁気学では、微分や積分、ベクトルなど高校で習うような数学がたくさん出てきます。一見何の役にも立たないように見える三角関数も、皆さんが日常的に使っているスマートフォンをつくるのに役立っています。このように、高校で習う数学は全て見えないところで社会の役に立っているのです。もし、この世に数学がなかったら、わたしたちの今の生活はありません。ですから、わたしたちは数学を学び継承していかなくてはならないのです。これが高校で数学を学ぶ意味です。

やりたい人だけやればいい、自分は苦手だからやりたくないと考える人も多いでしょう。しかし、数学を学ぶことには、メリットがあります。

まずは、問題解決能力が身につくことです。数学で、分からない問題があったとします。それに対して、あの手この手を使ってアプローチします。その際に、方針を大きく変えることも時には必要です。正解にたどり着いたつもりでも答えが違うこともあります。そしたら、またどこが違うのか考えなければなりません。そうして自分の力で何とか正解にたどり着くのです。人生でも同じです。生きていくうえで、様々な問題が降りかかります。その問題に対して、どうにもできないと解決するのをあきらめるのではなく、思いつく限りの策を試して、何とか解決へと向かっていく力を数学を通して身に着けてほしいと思います。

2つ目は論理的思考力が身につくことです。数学は論理的、つまり筋道を立てて考える科目です。AだからB,BだからCというように、論理的に考え、誰でも分かるように記述し説明する力は将来役に立ちます。例えば、将来何らかの仕事に就くと思いますが、仕事相手に分かりやすく物事を伝えるには、まず論理的でなくてはなりません。また、仕事で正しい判断を下す際にも、論理的思考力が求められます。今日、これをロジカルシンキングと呼び、ビジネスパーソンには必須と言われています。

このように数学を学ぶことには様々なメリットがあります。数学を嫌いだと思っている人も、一度このことを念頭において勉強してみてください。さらに言えば、純粋に数学が楽しいと感じてほしいと思います。確かに、はじめは楽しいだけの科目ではないかもしれません。積み重ねの科目なので、一度おいていかれてしまうと追いつくのは大変です。成績がすいすい伸びていく科目でもありません。しかし、分からない問題を自力で考えて、あらゆるアプローチを試し、やっと解けたときの達成感は決して他の科目にはない魅力です。自分は向いていないとあきらめる前に、ぜひ踏ん張って勉強して、楽しいと感じてもらえたらと思います。

 

数学の具体的な勉強法−数学勉強法②

 

 

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