数学の具体的な勉強法−数学勉強法②

全単元共通で意識すること

数学とはー大学受験の数学勉強法①

数学を勉強するにあたり単元に関係なく意識してほしいことです。下記の1と2は全受験生向け、3は偏差値60以上の大学を目指すならやってほしい内容です。

1. 最低限の暗記は必要

数学は考える力が大切だと冒頭で述べましたが、最低限覚えておかなければいけないことがあります。

基本用語、基本問題の解法、基本的な定理やその使い方の3つです。

基本用語について

数学において用語の定義は大切です。例えば関数の定義を正確に理解しているでしょうか。関数という言葉は数学でたくさん出てきますが、その定義をしっかり理解していない人もいるのではないでしょうか。二つの変数ｘとｙがあって、ｘの値が決まればそれに伴って、ｙの値がただひとつにきまるとき、ｙはｘの関数であるといえます。この”ただひとつ”というのが大事で、単位円の式は、x^2+y^2=1というように表されますが、これは上の定義と照らし合わせると関数とは言えませんね。

基本問題の解法

教科書に載っているような基本的な問題の解法は覚える必要があります。ただ、覚えるといっても丸暗記では応用が効きません。たとえば、二次関数の最大、最小の問題では、場合分けが必要ですよね。以下のような問題です。(青チャートの基本例題80から抜粋)

このような問題は、場合分けの仕方がある程度決まっています。特に教科書やその傍用問題集を解いていると、同じような場合分けばかり出てくるため、「とりあえずよくわからないけどこれ覚えちゃえばいいや！」となるかもしれません。でも、それだと、たとえばx^2の係数が負になったときに、間違えてしまいます。基本問題の解法は、”なぜそうなるのか理解したうえで覚える”ようにしてみてください。丸暗記とは違い理解して暗記する、という言い方が正しいです。

基本的な定理やその使い方

基本的な定理やその使い方は考えずとも反射的に出てくるくらいにしましょう。ただし、なんでもかんでも覚えるというのは逆に非効率になることもあります。例えば、三角関数には多数の公式がありますが、覚えなければならないのは、加法定理と合成公式(合成公式も加法定理から導くことができるので、その導出は理解するべき)だけです。その他、sin(-θ)=-sinθのような派生公式は自分で導出できるため覚えなくてよいです。ただし、導出に書ける時間は1分以内にしないと、試験でそれに時間が取られてしまいます。何度も自分で導出していくうちに自然と導出のスピードもあがってきて、結果的に覚えてしまった、というところまで持っていけると理想です。ただ、受験まで時間がない人や数学で点数を取らなくてもいい人に限っては、例外的にはじめから理解したうえで覚える、というのもありでしょう。

数学は、易しい問題に限れば暗記量が少ない暗記の科目と言えます。それこそ定理とその使い方を覚えるだけで解けてしまいます。正弦定理や余弦定理はその証明を理解するのも大切ですが、使い方を教科書を通して覚えるのも大切です。まずはじめは、例題を通して使い方を覚えましょう。

2. 自分の行っている操作の理解

上記基本問題の解法でもありましたが、解説に書いてある式変形や場合分けなど、”なぜそうなるのか””なぜそのような操作をしているのか”を一行一行考えて理解してください。

「そういうものだ！」と解法を丸暗記するのではなく、一つ一つの操作の意味を理解して解法を覚えましょう。丸暗記では数字が変わったり少し表現が変わったりしただけで解けなくなってしまいます。

3. 複数解釈

一つの数式に対して様々な解釈をすることです。これによって問題に対するアプローチ法が増えます。

具体例をあげましょう。(青チャートp150)

(x+4)^2+(y-1)^2=4やy=ax+3を図形と見なすのではなく、単純にxとyの関係式と見なすのであれば、連立して判別式>0で求められます。

しかし、(x+4)^2+(y-1)^2=4やy=ax+3を円と直線という図形と見なせば、点と直線の距離の公式を使って求めることができます。

このように、複数解釈を行うことで解法の幅が広がります。

複数解釈ができるようにするに、参考書の別解は必ず理解しましょう。また、解答を見ながら複数解釈できないか考えてみましょう。例えば、数学Aの図形の問題は、数学Aを学んだ時点ではベクトルを学んでいないためベクトルの解法はわかりませんが、ベクトルを学んだ後であればベクトルでの解法が使えます。

※ 定理の証明の理解

定理の証明について触れておきます。定理の証明は覚えた方がいいのか？と疑問に思う人もいると思います。定理の証明は丸暗記しても意味がありません。受験では定理の証明がそのまま問題として出題されることは少ないので、定理の証明を丸暗記しても合格に直接つながることはあまりありません。1999年の東京大学（加法定理の証明）、2013年の大阪大学（点と直線の距離の証明）など一部の大学で定理の証明が出題されたことがありますが、これは全体の問題のほんの一部です。また、満点を取らないと合格できないということはないので、他の問題できちんと点数が取れれば合格することは可能です。

それでは定理の証明を理解することは全く意味がないのでしょうか？そんなことはありません。あくまで意味がないのは証明の丸暗記です。定理に出会った時に「なぜこの定理が成り立つのだろう」と疑問に思うこと、定理の証明を理解しようと考えたことは、その後の勉強に役立ちます。証明ができることそのものが大切なわけでもなく、証明ができないと合格できないというわけでもありません。理解しようとする過程が大切です。

学校の授業では先生が定理の証明を説明してくれていることが多いと思うので、授業中に真剣に考えて理解するようにしましょう。時間のない受験生は定理の証明を一つ一つ理解していくのは負担が大きいと思うので、定理を使えるようにすることを優先して、証明の理解は（戦略的に）諦めるということも必要かもしれません。自分に残された時間や他の科目とのバランスを考えて着手しましょう。

基礎をおさえるための勉強法

冒頭に述べた通り、基本問題をできるようにしてから、発展的な問題に取り組みます。まずは難易度の高い問題に取り組まずに易しい問題で典型的な解法を身に着けていくことが大切です。教科書付属の問題集やチャートなどの網羅系参考書を使って基礎を身につけましょう。ただただ問題を解くだけでは数学の力は身につきません。基本問題といっても問題数がかなり多いので、闇雲に勉強しても無駄に時間を使ってしまいます。上記”全単元共通で意識すること”を意識しつつ、下記の効率的な勉強法で勉強していきましょう。

また、ここでは考える土台となる基本問題の解法の習得なので、わからない問題はすぐにヒントや解説を見てかまいません。

復習の効率をあげる！理解度別マーク法

理系科目の解答力、復習効率を劇的に高める勉強法プロセス要約法

応用力を鍛えるための勉強法

基礎をおさえる段階（基本問題の解法の習得）では、分からない問題に対して粘って考える必要はありませんでした(なぜその解法になるのか、なぜ自分の解法は違うのかを考えることは大切)。これは、考えるためのベースとなる知識が少ない段階では、粘っても何も浮かばない可能性が高いからです。しかし、網羅系参考書の内容がある程度身についたら、思考(すでにある知識を使って推論すること)することができます。実際の入試で出るのは、ただ基本的な解法が身についているかを問うだけのやさしい問題だけではありません。見たことのない初めての問題に取り組んでいかなければなりません。その練習をしていきましょう。

※2021年度入試参考
※理系学部のみ

手順

その1 定石の利用を考える

1つの解法で試して、ダメそう(計算がやたらややこしくなるなど次に進めない)であれば他の解法にシフト。

その2 グラフや図を書いてみる

難しい問題になると、問題文の状況を、読んだだけでは把握できないことも多いです。図やグラフを書くことで状況を把握しましょう。頭で考えるだけでなく実際に手を動かして考えることが大切です。

その3 実験する

具体的に数字を当てはめたり簡単な数字で試してみたりしましょう。

その4 誘導の利用を考える

よりイメージが湧くように、2020年東大文系数学第3問を例にとって考えてみましょう。次のような問題です。

まず(1)です。通過領域の問題です。通過領域の問題と聞くと、難しそうに聞こえますね。まずは、定石の利用を考えましょう。通過領域の定石としては、順像法や逆像法ですが、今回はその方法がいまいち使えなさそうです。頭の中だけで考えていても、始まりません。実際にグラフを書きましょう。問題文の状況把握ですね。今求められているのは、半直線OPの通過領域ですから、実際に何本か半直線OPを書いてみましょう。何をしたらいいかわからなければ実験です。もう気づいたでしょうか。難解な処理を行わずとも、Oから引いた接線だけ求めてしまえば、通過領域が求まるのです。

では、本題の(2)です。ぱっと問題を読んだ限りでは難しそうですね。まさに初見の問題です。何をしたらいいか分からなければまず実験です。aがどのくらいの値だったら、条件を満たすでしょうか。傾きが大きすぎても小さすぎても、正三角形は作れなさそうです。ここで、(1)の存在に着目します。誘導の利用ですね。(1)によれば半直線OPの動ける範囲は限られていました。つまり、y軸と半直線OPのなす角は、限られています。ここまでくれば、aの範囲も見えてきます。直線OAの左側にも三角形が作れることに注意すれば、解答が作れるはずです。

難関大学では初見の問題がほとんどです。定石をどれだけ身に着けているかと同時にどれだけ自分の頭で考えてきたかも問われます。分からないからと言って、はじめから答えを見るのではなく、上に書いた3つのことを実践して、自分の頭で考えてみましょう。それが受験数学の面白さであり醍醐味です。

この問題は、あまり定石を使いませんでしたが、難しい問題であっても、定石が使えることが多いです。数学の特徴で出した例題(東大数学2019第二問)のように、ぱっとみ図形の問題でも座標に落とし込むというのは常套手段です。分からなくても、とりあえず自分が今持っている武器を使ってみる、ということを意識してみてください。

※注意点

数学を解くにあたって、良くないことは一つの解法に固執してしまうことです。分からない問題こそ特に、すこし糸口が見えてしまうとその解法に飛びついてしまいます。その結果、膨大な計算量になり処理不能になってしまうこともあります。あまりにも面倒な計算になったり、途中で行き詰まってしまった場合には、方針を大幅に変更することも考えましょう。

ここからは、話が少し変わりますが、全く同じ問題は解けるのに、少し設定や文字を変えられると解けない・・という経験はあるでしょうか。そういった場合は、勉強法を見直してほしいです。単元別問題集を解く際に、ひたすら問題の解答を暗記している可能性が高いです。例えば、以下の漸化式の問題では、n=1で場合分けが必要です。

なぜその場合分けが必要なのか理解せずに、解答を丸暗記したらどうなるでしょうか。とりあえず、漸化式の問題は最後にn=1で成り立つか確認しとけばいいや、という認識だと、他の漸化式の問題でも場合分けしてしまうかもしれません。このように、なぜその場合分けをしているのか、なぜその公式を使っているのか、といったことを意識して、例題を理解をすることにつとめてみてください。

計算力を高める、計算ミスを減らすための勉強法

数学に計算はつきものです。初めの方で計算ミスをしてしまった場合、雪崩的に次の問題も間違えてしまうこともあります。とてももったいないですよね。しかし、計算ミスはするものです。0にすることはできません。しかし確実に減らすことはできます。そのための工夫をいくつか述べます。

普段からやること

1. 計算練習をする

計算ミスをする原因の一つとして、’計算に不慣れだから’というのがあると思います。単純に量不足です。たとえば、5+6のような一桁＋一桁の計算を間違える人はあまりいませんよね。これはわたしたちがわざわざ計算せずとも結果を覚えてしまっているからです。これより複雑になった微分計算も、√ｘの微分をいちいち計算するのではなく、1/2√xであると結果が自然に出てくるまで計算練習をするのです。毎日行っていれば、計算に慣れてきますし、計算スピード自体も上がってきます。

2. 計算方法を工夫する

出てきた数字を単純に計算するのではなく、ミスが起こりづらくなるように計算しましょう。たとえば、692+241+759+308を前から順に692+241=933、933+759=・・・というように計算していてはミスが起きやすいです。この計算の場合は692+308、241+759をそれぞれ先に計算するとどちらも1000になり、合わせて答えは2000となります。このように計算の順番を変えるだけでミスが起こりづらくなります。

3. 途中式を書く

問題演習の段階では途中式をある程度省略することで（考えていくことで）計算を飛ばす練習にもなり、計算力や解答スピードの向上につながります。ただ、頭のなかで計算すると計算ミスは起こりやすくなります。計算ミスが多いと自覚のある人は、試験本番では実際に紙に書くように意識してみましょう。

4. 計算をあちらこちらに書かない

試験などの場合は、問題用紙に計算をしていくと思いますが、この際いろんなところに筆算やら積分計算やらを書いてしまうと、見直しがしにくくなりますしミスも増えます。(1)はここで解く、(2)はここで解く、、という様に問題ごとに計算する場所を区切りなるべく順序だてて計算式を書いてみてください。

5. 文字や数字を丁寧に書く　

計算しているとどうしても雑に書いてしまいがちですよね。例えば、aとqやuとvはどっちがどっちか分からなくなりがちです。途中で入れ替わって最終的に答えが違ってしまったというミスも多いです。このようなミスを減らすために、文字や数字を丁寧に書くことを意識してみてください。

また、基本的には活字体で書きましょう。今は学校で草書体を学んでいませんが、以前は学校で草書体を学んでいたので、学校や塾の先生が草書体で書くかもしれません。しかし、活字体で書いてかまわないのでわざわざ草書体を覚えなくて大丈夫です。ただ、b,g,i,l,q,t,yなどは数字や他の記号と間違えないようにあえて草書体で書くこともあります。

6. 計算ミスしてそうなところに印をつけておく

最後見直しするときに、効率的に見直しができます。計算が複雑なところや下記の7で把握した苦手分野に印をつけておきましょう。

7. 自分の計算ミスを記録する

記録するのは、ミスの割合と計算の苦手分野です。

ミスの割合について

例えば、60分の試験で3つ程度はミスをすると知っていれば、見直ししやすいです。見直しをするときに、「3つ見つかったらからok！」というようににむやみに見直しに時間がかかりません。

計算の苦手分野について

ひとくちに計算ミスといっても、積分計算や連立方程式の計算など様々あります。ミスを記録していくと、自分がどのような計算でミスをしやすいのかが見えてきます。

見直しのときにすること

1. 計算ミスがある前提で見直す

心掛けになりますが、そもそもどこかで計算ミスをしているという前提で見直しをしましょう。自分の解答を眺めているだけでは計算ミスには気づけないので、どこかで計算ミスはしているものだと思って、計算ミスを探しに行きましょう。

2. 異なる方法で検算する

試験などで、最後の時間をまだ解けていない問題に費やすか、答案の見直しに費やすか迷いますよね。もし自分に計算ミスが多いという自覚があれば、新しい問題に手を付けるのではなく計算ミスをしていないかどうかの見直しに費やしてみてください。このとき、違う方法で検算してみましょう。同じ方法でやっても同じミスをするかもしれません。加減法で解いた連立方程式を代入法で解いてみる、というように異なるやり方で計算してみましょう。

※注意点

基本的な計算や式変形は数学を勉強し始めたときに、たくさん解いてしっかりと身につけましょう。計算ミスがなくなるだけでなく勉強効率に関係してくるので、この過程を疎かにすることはおすすめしません。

基本的な計算や式変形がスムーズにできないと、入試レベルの問題を解くときにその問題で学ぶべき一番大切なところではないところでつまずいてしまいます。その結果、その問題から得られるはずの学びが得られなかったり、1問処理するのに時間がかかってしまったりして非効率です。基本的な計算に時間をかけるのはもったいないと思う人もいるかもしれませんが、長い目で見ると初めに計算練習をきちんとしておく方が効率的ですので、基本的な計算や式変形はスムーズにできるように練習しておきましょう。

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